respect d'un stop, mais amende quand meme.

Bonjours, j'ai 16 ans, je fais le code pour passer la conduite accompagnée, ma mere s'est fais aréter car elle n'avait (d'apres l'agent) pas respecté un stop.
Je n'était pas dans la voiture, mais il y avais ma soeur de 14 ans avec ma mère, elles sont toutes les deux CERTAINES de s'etre aréter puisque justement ma mère expliquait à ma petite soeur que meme si il n'y a personne au stop il faut s'aréter.
Et...100 à 200mètre plus loin des gendarmes arétaient les voitures, au début le gendarme a demandé à ma mere ses papier (qui étaient parfaitement en ordre) et il lui demande si elle n'as rien remarquée; elle dis naturelement "non" et il lui dis qu'elle a grillée un stop qu'il y avais 100à 200 mètres avant.
Sur ce il lui demande de sortir de la voiture et il lui donne une contravention en lui demandant si elle désire contester, la réponse est "oui" bien sur. Le gendarme lui dis que elle doit payer dans les 3 mois qui viennent une somme de 90euros, mais que elle ne perd pas de points.
Cependant elle l'avait entendu dire 2 minutes avant à une personne devant que cette infraction faisait perdre 4 points sur le permis, donc ma mere lui demande pourquoi la femme devant elle a des point en moin et que pas elle, et sa réponse a était "parce qu'elle été enervée".
Bon voila toute l'histoire.
J'ai essayer de réunir les diférents éléments  pour anuler l'amende:
- les gendarmes étaient postés 100à 200 metres plus loin alors qu'ils n'avaient meme pas de jumelles( est-ce qu'il n'y aurais pas une distance limite pour l'utilisation obligatoire des jumelles??)
-Mes parents et moi iront prendre des photos du lieu pour prouver la distance séparant le stop et les gendarmes
-ma soeur est témoins(mais je ne pense pas que sa voie change quelque chose)ou alors je pourrais dire que j'étais dans la voiture, mais mentir n'est pas la bonne solution (je pense)
-Je ne sais pas si cela peut etre un argument, mais visiblement le gendarme ne connaissait rien aux diférentes infraction puisqu'il a dis à ma mère qu'il faut payer dans un temps de 3 mois (alors que c'est 30 jours il me semble) de plus il lui a dis que elle ne perdrais pas de points,  sauf que sur la contravention il y a marqué que il y a un retrait de 4 points sur le permis.
-Ma mère a demandé à payer directement car c'est moins cher de payer sur le coup (j'ai vu sa dans un autre topic du forum)
-ma mere est restée calme tout le temps (je pense qu'il faudrais le préciser)

Voila, excusez moi si je vous embete avec mon long message, mais 90 euros se n'est pas rien et j'aimerais aider es parents...
En atente de réponse, merci d'avance...